Pregunta de Dominio Matemático del Examen Ser Bachiller del Senescyt

En una progresión geométrica el cuarto término es 8 y el noveno término es 1/4. Hallar la suma de los nueve primeros términos de la progresión, aproximando la cantidad al entero siguiente.

A)

132

B)

128

C)

142

D)

126

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Soluciones

Solución #7272
+ 13 - 7

El cuarto término es 8
El noveno término es 1/4
La serie va reduciendose a la mitad:
64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4


La suma de esto es:
64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0.50 + 0.25 

Total = 127.75
Redondeado 128

Solución #6570
+ 4 - 16
Ecuación de progresión geométrica:

$S_n=\frac{a_n\cdot r-a_1}{r-1}$Sn=an·ra1r1    

Donde:
an = Valor del término que ocupa la posición n
a1 = Primer término
r = Razón de la progresión
n = Lugar que ocupa en la progresión el termino an

Para n = 4:  a4 = 8
$8=a_1\cdot r^{4-1}$8=a1·r41 
$8=a_1\cdot r^3$8=a1·r3 
$a_1=\frac{8}{r^3}$a1=8r3     (Ecuación 1)

Para n = 9;  a9 = 1/4
$\frac{1}{4}=a_1\cdot r^{9-1}$14 =a1·r91 
$\frac{1}{4}=a_1\cdot r^8$14 =a1·r8  (Ecuación 2)

Reemplazo ecuación 1 en ecuación 2:
$a_1=\frac{8}{r^3}$a1=8r3  
$\frac{1}{4}=\frac{8}{r^3}\cdot r^8$14 =8r3 ·r8 
$\frac{1}{8\cdot4}=r^8\cdot r^{-3}$18·4 =r8·r3 
$\frac{1}{32}=r^{8-3}$132 =r83 
$r^5=\frac{1}{32}$r5=132  
$\sqrt[5]{r^5}=\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$5r5=5132  
$r=\frac{1}{2}=0.5$r=12 =0.5 

Reemplazo en a1 = 8/r³
$a_1=\frac{8}{0.5^3}$a1=80.53  
a1 = 64

Formula para halla suma de términos
$S_{n=}\frac{a_n\cdot r-a_1}{r-1}$Sn=an·ra1r1  

Para los 9 primeros términos
an = 1/4;  a1 = 64;  r = 0.5
$S_{9=}\frac{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}-64}{\frac{1}{2}-1}$S9=14 ·12 6412 1    
$S_{9=}\frac{\frac{1}{8}-64}{-\frac{1}{2}}$S9=18 6412   
$S_{9=}\frac{-\frac{511}{8}}{-\frac{1}{2}}=\frac{511}{4}$S9=5118 12  =5114    
S9 = 127.75

Rta: a1 = 64; r = 0.5; S9 = 127.75 
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