Pregunta de Dominio Matemático del Examen Ser Bachiller del Senescyt

¿Qué valores satisfacen la ecuación $sen^2\left(x\right)+2=cos^2\left(x\right)+3sen\left(x\right)$sen2(x)+2=cos2(x)+3sen(x)en el intervalo (0, π)?
A) 30° y 90°
B) 45° y 90°
C) 30° y 60°
D) 90° y 180°
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Soluciones

Solución #5125
+ 8 - 14
Primero se debe igualar la ecuación a cero: 
$sen^2\left(x\right)-3sen\left(x\right)+2-cos^2\left(x\right)=0$sen2(x)3sen(x)+2cos2(x)=0 

hora se aplica la igualdad trigonométrica del coseno:
$Sen^2\left(x\right)-3sen\left(x\right)+2-\left(1-sen^2\left(x\right)\right)=0$Sen2(x)3sen(x)+2(1sen2(x))=0 
$Sen^2\left(x\right)-3sen\left(x\right)+2-1+sen^2\left(x\right)=0$Sen2(x)3sen(x)+21+sen2(x)=0 
$2Sen^2\left(x\right)-3sen\left(x\right)+1=0$2Sen2(x)3sen(x)+1=0 

Ahora se reaiza un cambio de varaible: 
$u=sen\left(x\right)$u=sen(x) 

Entonces la ecuación se transforma y se puede resolver por factorización: 
$2u^2-3u+1=0$2u23u+1=0 

Al resolver nos quedan las soluciones de la ecuación:  
$u-1=0$u1=0 
$2u-1=0$2u1=0 

Despejando la u se obtiene: 
$u=1$u=1 
$u=\frac{1}{2}$u=12  

Ahora reemplazamos el valor original de u: 
$sen\left(x\right)=1$sen(x)=1 
$sen\left(x\right)=\frac{1}{2}$sen(x)=12  

Aplicamos arcosen a ambos lados para eliminar el seno: 
$\sin^{-1}\left(\sin\left(x\right)\right)=\sin^{-1}\left(1\right)$sin1(sin(x))=sin1(1)         ^            $\sin^{-1}\left(\sin\left(x\right)\right)=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$sin1(sin(x))=sin1(12 ) 
   $x=\sin^{-1}\left(1\right)$x=sin1(1)                                                              $x=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$x=sin1(12 ) 
   x = 90                                                                              x =30     


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