Pregunta de Dominio Científico del Examen Ser Bachiller del Senescyt

En un estudio biológico se encontró que el tamaño de un insecto se puede determinar mediante la ecuación:

L = k ∙ (1 - e-0,02t)

Donde:

L = longitud en centímetros

k = constante de crecimiento

t = tiempo de vida en días

Si un insecto en 10 días mide 0,2 cm, ¿cuántos días tendrá otro insecto que mide 0,4 cm?

A) 24,62
B) 20,00
C) 39,25
D) 22,60
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Soluciones

Solución #932
+ 26 - 34
Primero hay que encontrar el valor de k.
Datos primer insecto:
L = 0.2cm
t = 10d 
Reemplazamos en la ecuación 

0.2 = k (1 - e-0.02(10))
0.2 = k (1 - e-0.2)
Cuando hay exponente negativo se invierte.
Ejemplo: a-2 = $\frac{1}{a^2}$1a2  
Conocido eso:
0.2 = k (1 - $\frac{1}{e^{0.2}}$1e0.2 )

"e" es la constante euler que equivale a 2.71828 aproximadamente 2.72

0.2 = k (1 - $\frac{1}{2.72^{0.2}}$12.720.2 )
0.2 = k (0.1813)
k = 1.1

Una vez encontrado el valor de "k" procedemos a encontrar los días del otro insecto.
Datos segundo insecto:
t = ?
k = 1.1
L = 0.4

Reemplazando en la ecuación.

0.4 = 1.1 (1 - e-0.02t)  [pasando 1.1 a dividir]
$\frac{0.4}{1.1}=1-\frac{1}{e^{0.02t}}$0.41.1 =11e0.02t    
0.3636 = 1 - $\frac{1}{e^{0.02t}}$1e0.02t   
-0.6364 = - $\frac{1}{e^{0.02t}}$1e0.02t   
0.6364 = $\frac{1}{e^{0.02t}}$1e0.02t  
$e^{0.02t}=\frac{1}{0.6364}$e0.02t=10.6364   
e0.02t =  1.57
ln(e0.02t) = ln(1.57)

Propiedad logaritmos:
logaXb = b(logaX)
ln(e) = loge(e) = 1 

0.02t * ln(e) = ln(1.57)
0.02t = ln(1.57)
t = $\frac{\ln\left(1.57\right)}{0.02}$ln(1.57)0.02  
t = 22.55
redondeando: t = 22.6 

 
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